ＭＯＷ３のアイデア

まず、右の図を見てください。 凹四角形の角の性質から、青色の角を緑色（２カ所）の角の合計がピンク色の角と同じになります。
上の図の考えを全ての先端で用いると、　青＋緑＝ピンク　になります。 　緑すべての合計は、内側のｎ角形の外角の合計の２倍になっています。つまり、緑色をすべて合わせると３６０度×２＝７２０度になります。 　また、ピンク色の合計は、内側のｎ角形の内角の和なので、１８０度×ｎ−３６０度 従って、青＝ピンク−緑だから、 青色の合計は、 （１８０度×ｎ−３６０度）−７２０度 ＝１８０度×（ｎ−６） と表せます。
２番目の図のように整っていない場合について考えます。 　∠ｘが∠ｘ’の位置にずれていて、うまく凹四角形ができていない場合です。 最初のように ∠ｘ＋∠ｙ＋∠ｚ＝∠ａ ですが、ここで、 ∠ｘ'＋∠ｙ'＋∠ｚ'＝∠ａ がいえれば、２番目の図にすべて帰着することができます。 　そこで、紫色の平行線を引きます。同位角なので ∠a=∠a' ∠b=∠b' ∠z'=∠c 　三角形の内角の和より （∠ｘ'＋∠ｙ'＋∠c）＋∠b'＝１８０度 また、平角であるから 　　　　　　　　　∠a'＋∠b'＝１８０度 したがって、 ∠ｘ'＋∠ｙ'＋∠c'=∠a' よって ∠ｘ'＋∠ｙ'＋∠ｚ'＝∠ａ 同様にすれば、すべて、２番目の図に帰着できる。 証明終わり。